Mendeskripsikan Konsep Faktor dan Kelipatan

1. Konsep Faktor dan Kelipatan

Mari kita perhatikan tabel berikut ini!

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2		6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	4 0	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

A, faktor Bilangan

Faktor adalah bilangan yang dapat membagi habis  bilangan suatu bilangan tersebut

Cobalah kalian cari faktor dari bilangan 36, 40, 42.

Untuk mencari faktor suatu bilangan dapat dilakukan cara perkalian.

36 = 1 × 36		40 = 1 × 40		42 = 1 × 42
36 = 2 × 18		40 = 2 × 20		42 = 2 × 21
36 = 3 × 12		40 = 4 × 10		42 = 3 × 14
36 = 6 × 6		40 = 5 × 8		42 = 6 × 7

Faktor dari 36 adalah : 1, 2, 3, 6, 12, 18, 36

Faktor dari 40 adalah : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Faktor dari 42 adalah : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

B. Kelipatan

Kelipatan suatu bilangan dapat diperoleh:

1. penjumlahan berulang, dan

2. Perkalian  bilangan dengan bilangan asli.

Langkah untuk mendapatkan bilangan-bilangan kelipatan 4 adalah:

• Langkah ke 1 : Tulislah dalam bentuk perkaliannya.

1 X 4

2 X 4

3 X 4

5 X 4

6 X 4

...

• Langkah ke 2 : Tulislah dalam bentuk hasil kalinya.

4, 8, 12, 16, 20, 24, . . .

Jadi, bilangan-bilangan asli kelipatan 4 yang < 35 adalah: 4, 8, 12, 16, 20,

24, 28, dan 32.

Catatan:

Langkah ke 1 berguna untuk langkah pertolongan agar mudah mengingat cara mengerjakannya. Bila sudah terampil, maka langkah ke 1 tidak perlu ditulis.

Mencari Faktor Persekutuan dari Dua Bilangan

Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari 2 bilangan atau lebih

a.  Faktor persekutuan dari 6 dan 15

Faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6.

Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15.

Terdapat bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 6 dan 15, yaitu 1 dan 3.

Dikatakan bahwa 1 dan 3 adalah faktor persekutuan dari 6 dan 15.

Jadi, faktor persekutuan dari 6 dan 15 adalah 1 dan 3.

b.  Faktor persekutuan dari 12 dan 20

Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Faktor persekutuan dari 12 dan 20 adalah 1, 2, dan 4.

Menentukan Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan

Bilangan kelipatan yang sama dari kedua bilangan di atas disebut kelipatan persekutuan dari kedua bilangan itu.

Perhatikan barisan bilangan berikut.

Bilangan-bilangan kelipatan 2 adalah 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,24.

Bilangan-bilangan kelipatan 3 adalah 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Dapat kamu lihat, terdapat bilangan-bilangan yang sama pada kedua

baris bilangan tersebut, yaitu 6, 12, 18, 24, ...

Dikatakan 6, 12, 18, 24, ... adalah kelipatan persekutuan dari 2 dan 3.

Ciri-ciri Bilangan yang Habis dibagi 2, 3, 4, dan 5

1.      Sebuah bilangan akan habis dibagi 2, apabila bilangan satuannya adalah bilangan genap atau nol.

2. Sebuah bilangan akan habis dibagi 3, apabila jumlah dari semua angkanya habis dibagi 3.

Misalnya, 21 > 2 + 1 = 3 (habis dibagi 3) dan

72 >7 + 2 = 9 (habis dibagi 3).

Contoh:

Periksalah, apakah bilangan-bilangan berikut habis dibagi 3?

21, 72, 243, 1.243, 1.387, 32, 136, 822, 1.566, 2.000.

Jawab:

􀅶 Bilangan-bilangan yang habis dibagi 3 adalah 21, 72, 243, 822, dan

1.566.

􀅶 Bilangan 32, 136, 1.243, 1.387 dan 2.000 tidak habis dibagi 3.

3. Sebuah bilangan akan habis dibagi 4, apabila dua angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.

Contoh:

Periksalah, apakah bilangan-bilangan berikut habis dibagi 4?

45, 93, 892, 2.436, 3.884, 68, 656, 917, 1.775, 3.886.

Jawab:

􀅶 Bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 adalah 68, 656, 892, 2.436,

dan 3.884.

􀅶 Bilangan 45, 93, 917, 1.775, dan 3.886 tidak habis dibagi 4.

4. Sebuah Bilangan akan habis dibagi lima jika angka satuannya nol atau 5

Contoh:

Apakah bilangan-bilangan berikut habis dibagi 5?

75, 90, 385, 1.876, 3.917, 82, 284, 670, 2.345, 4.567.

Jawab:

􀅶 Bilangan-bilangan yang habis dibagi 5 adalah 75, 90, 385, 670, dan

2.345.

􀅶 Bilangan 82, 284, 1.876, 3.917, dan 4.567 tidak habis dibagi 5.

Mencari Faktor Prima Sebuah Bilangan

Faktor prima adalah faktor dari suatu bilangan yang merupakan bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang mempunyai 2 faktor, yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Untuk mencari faktor prima, mari kita perhatikan bersama contoh berikut ini.

Contoh:

1.      Tentukan faktor prima dari bilangan 20.

Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Faktor prima 20 adalah 2,5.

2.    Tentukan faktor prima dari bilangan 18.

Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Faktor prima 18 adalah 2 dan 3

faktor persekutuan terbesar

Langkah-langkah untuk mencari faktor persekutuan terbesar adalah

sebagai berikut:

Contoh: 42 dan 56

·      Langkah ke 1 : Tuliskan faktor dari 42

Faktor dari 42 adalah : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

·      Langkah ke 2 : Tuliskan faktor dari 56

Faktor dari 56 adalah : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

·       Langkah ke 3 : Tuliskan faktor persekutuan dari 42 dan 56

Faktor persekutuan dari 42 dan 56 adalah 1, 2, 7, 14.

·       Langkah ke 4 : Pilihlah faktor persekutuan terbesar dari 42 dan 56

 FPB dari 42 dan 56 adalah 14.

kelipatan persekutuan terkecil

Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua

bilangan dapat dilakukan dengan mengurutkan kelipatan

masing-masing bilangan.

Marilah kita perhatikan kelipatan dari bilangan 2 dan 3 berikut

·        Bilangan asli kelipatan 2 adalah:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ,16, 18, 20, 22, 24, . . .

·        Bilangan asli kelipatan 3 adalah:

3, 6, 9, 12, 16, 18, 21, 24, …

·        Kelipatan persekutuan adalah: 6, 12, 18, 24, . . .

Di antara kelipatan persekutuan antara 2 dan 3, bilangan 6 adalah yang terkecil.

Kesimpulan:

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua buah bilangan asli adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan kedua bilangan tersebut.

Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan KPK dan FPB

KPK untuk menyamakan penyebut pecahan.

Dalam melakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang tidak

sejenis, kedua penyebutnya harus disamakan terlebih dulu.

Langkah-langkahnya:

a. Cari KPK dari penyebut pecahan-pecahan yang akan dikurangkan

atau dijumlahkan.

b. KPK yang didapat, menjadi penyebut masing-masing pecahan.

c. Pengurangan ataupun penjumlahan dilakukan setelah penyebutnya

sama.

d. Hasil perhitungan pecahan dapat disederhanakan dengan menentukan FPB untuk membagi pembilang dan penyebut dari pecahan itu.

FPB untuk menyederhanakan pecahan.

Pecahan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama, sampai tidak dapat dibagi lagi.

Langkah-langkah:

1. Mencari FPB dari pembilang dan penyebut pecahan

2. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan FPBnya, maka akan diperoleh pecahan yang sederhana.

Menyelesaikan Soal Cerita yang berhubungan dengan FPB

Ibu mempunyai 12 apel dan 18 jeruk. Semua buah-buahan dimasukkan

ke dalam kantong plastik. Setiap kantong memuat apel dan jeruk

masing-masing dalam jumlah yang sama. Berapa kantong plastik yang

dibutuhkan?

Jawab:

Untuk menjawab soal ini, tentukan dahulu FPB dari 12 dan 18.

FPB dari 12 dan 18 adalah 6.

Jadi, kantong plastik yang dibutuhkan adalah 6 buah.

Menyelesaikan Soal Cerita yang Berhubungan dengan KPK

Dito dan Riski berjalan kaki bersama ketika

berangkat sekolah pada tanggal 20 Januari 2008.

Dito berjalan ke sekolah setiap 4 hari sekali,

sedangkan Riski setiap 7 hari sekali. Kapankah

Dito dan Riski akan berjalan kaki bersama ketika

berangkat sekolah untuk kedua kalinya?

Jawab:

Untuk menjawab soal ini, tentukan KPK dari 4 dan 7.

KPK dari 4 dan 7 adalah 28.

Jadi, Dito dan Riski akan berjalan kaki bersama ketika berangkat sekolah untuk kedua kalinya setelah 28 hari, yaitu 1 Januari 2004 + 28 hari = 29 Januari 2008.

Rangkuman

1. Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan yang habis membagi bilangan tersebut.

2. Kelipatan dari suatu bilangan adalah hasil kali bilangan itu dengan suatu bilangan lain.

3. Faktor persekutuan dari 2 bilangan asli adalah faktor yang sama dari kedua bilangan tersebut.

4. Sebuah bilangan akan habis dibagi 2, apabila bilangan satuannya adalah bilangan genap atau nol.

5. Sebuah bilangan akan habis dibagi 3, apabila jumlah dari semua angkanya habis dibagi 3.

6. Sebuah bilangan akan habis dibagi 4, apabila dua angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.

7. Sebuah bilangan akan habis dibagi 5, apabila bilangan satuannya adalah bilangan lima atau nol.

8. Faktor prima adalah faktor suatu bilangan yang merupakan bilangan prima.

9. Bilangan prima adalah bilangan yang mempunyai 2 faktor, yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.

10. FPB dari 2 bilangan asli adalah faktor persekutuan dari kedua bilangan itu yang paling besar.

11. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua buah bilangan asli adalah

bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan kedua bilangan asli tersebut.

12. Dalam melakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang tidak sejenis, kedua penyebutnya harus disamakan terlebih dulu, yaitu dengan menggunakan KPK.

13. Pecahan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB.