Mendeskripsikan Konsep Faktor dan Kelipatan
1. Konsep Faktor dan Kelipatan
Mari kita
perhatikan tabel berikut ini!
|
X
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
2
|
2
|
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
20
|
|
3
|
3
|
6
|
9
|
12
|
15
|
18
|
21
|
24
|
27
|
30
|
|
4
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
24
|
28
|
32
|
36
|
40
|
|
5
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
4 0
|
45
|
50
|
|
6
|
6
|
12
|
18
|
24
|
30
|
36
|
42
|
48
|
54
|
60
|
|
7
|
7
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
49
|
56
|
63
|
70
|
|
8
|
8
|
16
|
24
|
32
|
40
|
48
|
56
|
64
|
72
|
80
|
|
9
|
9
|
18
|
27
|
36
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
90
|
|
10
|
10
|
20
|
30
|
40
|
50
|
60
|
70
|
80
|
90
|
100
|
A, faktor Bilangan
Faktor adalah bilangan yang
dapat membagi habis bilangan suatu
bilangan tersebut
Cobalah kalian cari faktor dari bilangan 36, 40, 42.
Untuk mencari faktor suatu bilangan dapat dilakukan cara
perkalian.
|
36 = 1 × 36
|
|
40 = 1 × 40
|
|
42 = 1 × 42
|
|
36 = 2 × 18
|
|
40 = 2 × 20
|
|
42 = 2 × 21
|
|
36 = 3 × 12
|
|
40 = 4 × 10
|
|
42 = 3 × 14
|
|
36 = 6 × 6
|
|
40 = 5 × 8
|
|
42 = 6 × 7
|
Faktor dari 36 adalah : 1, 2, 3, 6, 12, 18, 36
Faktor dari 40 adalah : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Faktor dari 42 adalah : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
B. Kelipatan
Kelipatan suatu bilangan dapat diperoleh:
1. penjumlahan berulang, dan
2. Perkalian bilangan
dengan bilangan asli.
Langkah
untuk mendapatkan bilangan-bilangan kelipatan 4 adalah:
•
Langkah ke 1 : Tulislah dalam bentuk
perkaliannya.
|
1 X 4
|
|
2 X 4
|
|
3 X 4
|
|
5 X 4
|
|
6 X 4
|
|
...
|
•
Langkah ke 2 : Tulislah dalam bentuk
hasil kalinya.
4, 8, 12, 16, 20, 24, . . .
Jadi,
bilangan-bilangan asli kelipatan 4 yang < 35 adalah: 4, 8, 12, 16, 20,
24,
28, dan 32.
Catatan:
Langkah ke 1 berguna
untuk langkah pertolongan agar mudah mengingat cara mengerjakannya. Bila sudah
terampil, maka langkah ke 1 tidak perlu ditulis.
Mencari
Faktor Persekutuan dari Dua Bilangan
Faktor persekutuan merupakan faktor yang
sama dari 2 bilangan atau lebih
a. Faktor persekutuan dari 6 dan 15
Faktor
dari 6 adalah 1, 2, 3, 6.
Faktor dari 15 adalah 1,
3, 5, 15.
Terdapat
bilangan-bilangan yang sama di antara faktor-faktor dari 6 dan 15, yaitu 1 dan
3.
Dikatakan bahwa 1 dan 3
adalah faktor persekutuan dari 6 dan 15.
Jadi, faktor persekutuan
dari 6 dan 15 adalah 1 dan 3.
b. Faktor persekutuan dari 12 dan 20
Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Faktor
dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Faktor
persekutuan dari 12 dan 20 adalah 1, 2, dan 4.
Menentukan Kelipatan Persekutuan Dua Bilangan
Bilangan
kelipatan yang sama dari kedua bilangan di atas disebut kelipatan
persekutuan dari kedua bilangan itu.
Perhatikan
barisan bilangan berikut.
Bilangan-bilangan
kelipatan 2 adalah 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,24.
Bilangan-bilangan
kelipatan 3 adalah 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
Dapat
kamu lihat, terdapat bilangan-bilangan yang sama pada kedua
baris
bilangan tersebut, yaitu 6, 12, 18, 24, ...
Dikatakan 6, 12, 18, 24, ... adalah kelipatan persekutuan dari 2
dan 3.
Ciri-ciri
Bilangan yang Habis dibagi 2, 3, 4, dan 5
1.
Sebuah bilangan akan habis dibagi 2, apabila
bilangan satuannya adalah bilangan genap atau nol.
2. Sebuah bilangan akan
habis dibagi 3, apabila jumlah dari semua angkanya habis dibagi 3.
Misalnya, 21 > 2 + 1 = 3 (habis dibagi
3) dan
72 >7 + 2 = 9 (habis dibagi
3).
Contoh:
Periksalah, apakah
bilangan-bilangan berikut habis dibagi 3?
21, 72, 243, 1.243,
1.387, 32, 136, 822, 1.566, 2.000.
Jawab:
ô€…¶ Bilangan-bilangan yang habis dibagi 3 adalah 21, 72, 243, 822,
dan
1.566.
ô€…¶ Bilangan 32, 136, 1.243, 1.387 dan 2.000 tidak habis dibagi 3.
3. Sebuah bilangan akan habis dibagi 4, apabila dua angka terakhir
dari bilangan tersebut habis dibagi 4.
Contoh:
Periksalah, apakah
bilangan-bilangan berikut habis dibagi 4?
45, 93, 892, 2.436,
3.884, 68, 656, 917, 1.775, 3.886.
Jawab:
ô€…¶ Bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 adalah 68, 656, 892,
2.436,
dan 3.884.
ô€…¶ Bilangan 45, 93, 917, 1.775, dan 3.886 tidak habis dibagi 4.
4. Sebuah Bilangan akan
habis dibagi lima jika angka satuannya nol atau 5
Contoh:
Apakah bilangan-bilangan
berikut habis dibagi 5?
75, 90, 385, 1.876,
3.917, 82, 284, 670, 2.345, 4.567.
Jawab:
ô€…¶ Bilangan-bilangan yang habis dibagi 5 adalah 75, 90, 385, 670,
dan
2.345.
ô€…¶ Bilangan 82, 284, 1.876, 3.917, dan 4.567 tidak habis dibagi 5.
Mencari
Faktor Prima Sebuah Bilangan
Faktor
prima adalah faktor dari suatu bilangan yang merupakan bilangan prima. Bilangan
prima adalah bilangan yang mempunyai 2 faktor, yaitu bilangan 1 dan bilangan
itu sendiri. Untuk mencari faktor prima, mari kita perhatikan bersama contoh
berikut ini.
Contoh:
1. Tentukan faktor prima dari bilangan 20.
Faktor dari 20 adalah 1,
2, 4, 5, 10, 20.
Faktor prima 20 adalah
2,5.
2. Tentukan faktor prima dari bilangan 18.
Faktor dari 18 adalah 1,
2, 3, 6, 9, 18.
Faktor prima 18 adalah 2 dan 3
faktor persekutuan terbesar
Langkah-langkah untuk mencari faktor persekutuan terbesar adalah
sebagai berikut:
Contoh: 42 dan 56
· Langkah ke 1 : Tuliskan faktor dari 42
Faktor dari 42 adalah :
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
· Langkah ke 2 : Tuliskan faktor dari 56
Faktor dari 56 adalah :
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
· Langkah ke 3 : Tuliskan faktor persekutuan dari
42 dan 56
Faktor persekutuan dari
42 dan 56 adalah 1, 2, 7, 14.
· Langkah ke 4 : Pilihlah faktor persekutuan
terbesar dari 42 dan 56
FPB dari 42 dan 56 adalah 14.
kelipatan persekutuan terkecil
Untuk
menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua
bilangan
dapat dilakukan dengan mengurutkan kelipatan
masing-masing bilangan.
Marilah
kita perhatikan kelipatan dari bilangan 2 dan 3 berikut
·
Bilangan asli kelipatan 2
adalah:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ,16, 18, 20, 22, 24, . . .
·
Bilangan asli kelipatan 3
adalah:
3, 6, 9, 12, 16, 18, 21, 24, …
·
Kelipatan persekutuan
adalah: 6, 12, 18, 24, . . .
Di antara kelipatan persekutuan antara 2 dan 3, bilangan 6
adalah yang terkecil.
Kesimpulan:
Kelipatan persekutuan
terkecil (KPK) dari dua buah bilangan asli adalah bilangan terkecil yang
merupakan kelipatan kedua bilangan tersebut.
Menyelesaikan
Masalah yang Berkaitan dengan KPK dan FPB
KPK untuk menyamakan penyebut pecahan.
Dalam melakukan penjumlahan dan pengurangan pecahan yang tidak
sejenis, kedua penyebutnya harus disamakan terlebih dulu.
Langkah-langkahnya:
a. Cari KPK dari penyebut pecahan-pecahan yang akan dikurangkan
atau dijumlahkan.
b. KPK yang didapat, menjadi penyebut masing-masing pecahan.
c. Pengurangan ataupun penjumlahan dilakukan setelah penyebutnya
sama.
d. Hasil perhitungan pecahan dapat disederhanakan dengan
menentukan FPB untuk membagi pembilang dan penyebut dari pecahan itu.
FPB
untuk menyederhanakan pecahan.
Pecahan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan
penyebutnya dengan bilangan yang sama, sampai tidak dapat dibagi lagi.
Langkah-langkah:
1. Mencari FPB dari pembilang dan penyebut pecahan
2. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan FPBnya, maka
akan diperoleh pecahan yang sederhana.
Menyelesaikan
Soal Cerita yang berhubungan dengan FPB
Ibu
mempunyai 12 apel dan 18 jeruk. Semua buah-buahan dimasukkan
ke
dalam kantong plastik. Setiap kantong memuat apel dan jeruk
masing-masing
dalam jumlah yang sama. Berapa kantong plastik yang
dibutuhkan?
Jawab:
Untuk
menjawab soal ini, tentukan dahulu FPB dari 12 dan 18.
FPB
dari 12 dan 18 adalah 6.
Jadi,
kantong plastik yang dibutuhkan adalah 6 buah.
Menyelesaikan
Soal Cerita yang Berhubungan dengan KPK
Dito
dan Riski berjalan kaki bersama ketika
berangkat
sekolah pada tanggal 20 Januari 2008.
Dito
berjalan ke sekolah setiap 4 hari sekali,
sedangkan
Riski setiap 7 hari sekali. Kapankah
Dito
dan Riski akan berjalan kaki bersama ketika
berangkat
sekolah untuk kedua kalinya?
Jawab:
Untuk
menjawab soal ini, tentukan KPK dari 4 dan 7.
KPK
dari 4 dan 7 adalah 28.
Jadi,
Dito dan Riski akan berjalan kaki bersama ketika berangkat sekolah untuk kedua
kalinya setelah 28 hari, yaitu 1 Januari 2004 + 28 hari = 29 Januari 2008.
Rangkuman
1. Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan
yang habis membagi bilangan tersebut.
2. Kelipatan dari suatu bilangan adalah hasil
kali bilangan itu dengan suatu bilangan lain.
3. Faktor persekutuan dari 2 bilangan asli
adalah faktor yang sama dari kedua bilangan tersebut.
4. Sebuah bilangan akan habis dibagi 2,
apabila bilangan satuannya adalah bilangan genap atau nol.
5. Sebuah bilangan akan habis dibagi 3,
apabila jumlah dari semua angkanya habis dibagi 3.
6. Sebuah bilangan akan habis dibagi 4,
apabila dua angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.
7. Sebuah bilangan akan habis dibagi 5,
apabila bilangan satuannya adalah bilangan lima atau nol.
8. Faktor prima adalah faktor suatu bilangan
yang merupakan bilangan prima.
9. Bilangan prima adalah bilangan yang
mempunyai 2 faktor, yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.
10. FPB dari 2 bilangan asli adalah faktor
persekutuan dari kedua bilangan itu yang paling besar.
11. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari
dua buah bilangan asli adalah
bilangan asli terkecil yang merupakan
kelipatan kedua bilangan asli tersebut.
12. Dalam melakukan penjumlahan dan
pengurangan pecahan yang tidak sejenis, kedua penyebutnya harus disamakan
terlebih dulu, yaitu dengan menggunakan KPK.
13. Pecahan dapat disederhanakan dengan
membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB.